100. Треугольник АВС – равнобедренный. Докажите, что точки, рав- ноудаленные от концов основания ВС, лежат на прямой, пер- пендикулярной стороне ВС и проходящей через ее середину.

Давай докажем это утверждение. Нам нужно показать, что точки, равноудалённые от концов основания равнобедренного треугольника, лежат на прямой, являющейся перпендикуляром к этому основанию и проходящей через его середину. Дано: \(\triangle ABC\) – равнобедренный, \(AB = AC\). Точки D и E равноудалены от B и C, то есть \(BD = CD\) и \(BE = CE\). M – середина BC. Доказать: Точки D, E и M лежат на прямой, перпендикулярной BC. Доказательство: 1. Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то медиана AM, проведённая к основанию BC, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, \(AM \perp BC\) и M – середина BC. 2. Рассмотрим точку D, для которой \(BD = CD\). Это означает, что \(\triangle BDC\) – равнобедренный, и DM – медиана, проведённая к основанию BC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Следовательно, \(DM \perp BC\). 3. Аналогично, для точки E, для которой \(BE = CE\), \(\triangle BEC\) – равнобедренный, и EM – медиана. Следовательно, \(EM \perp BC\). 4. Таким образом, мы имеем три прямые: AM, DM и EM, каждая из которых перпендикулярна BC. Через точку M можно провести только одну прямую, перпендикулярную BC. Следовательно, точки A, D, E и M лежат на одной прямой, перпендикулярной BC.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Ты отлично справился с доказательством этой геометрической задачи! Продолжай в том же духе, и геометрия станет для тебя все более понятной и интересной!