Докажите свойства равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, AD ∥ BC, а её боковые стороны равны: AB = CD.

а) Углы при каждом основании равны. Опустим перпендикуляры BE и CF из точек B и C на основание AD. Четырёхугольник BCFE — прямоугольник, поэтому BE = CF и EF = BC. Прямоугольные треугольники ABE и DCF равны по гипотенузе и катету: AB = CD, BE = CF. Следовательно, ∠A = ∠D. Поскольку AD ∥ BC, внутренние односторонние углы дополняют друг друга до 180°: ∠A + ∠B = 180° и ∠D + ∠C = 180°. Из ∠A = ∠D следует ∠B = ∠C.

б) Диагонали равны. Рассмотрим треугольники BAD и CDA. У них AB = CD по условию, AD — общая сторона, а ∠BAD = ∠CDA как углы при основании, доказанные в пункте а). Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому соответствующие диагонали равны: BD = AC.