Докажите тождество $\left(\dfrac{2x+5}{x^2+4x+4}-\dfrac{x+3}{x^2+2x}\right):\dfrac{x^2-6}{x^2-4x}=\dfrac{x-2}{x+2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Докажите тождество $\left(\dfrac{2x+5}{x^2+4x+4}-\dfrac{x+3}{x^2+2x}\right):\dfrac{x^2-6}{x^2-4x}=\dfrac{x-2}{x+2}$.$ Фото задания

Докажите тождество $\left(\dfrac{2x+5}{x^2+4x+4}-\dfrac{x+3}{x^2+2x}\right):\dfrac{x^2-6}{x^2-4x}=\dfrac{x-2}{x+2}$.

Accepted Answer

В записанном виде равенство не является тождеством. Проверим левую часть, разложив знаменатели на множители:

$\dfrac{2x+5}{(x+2)^2}-\dfrac{x+3}{x(x+2)}=\dfrac{x(2x+5)-(x+3)(x+2)}{x(x+2)^2}=\dfrac{x^2-6}{x(x+2)^2}$.

Тогда

$\left(\dfrac{x^2-6}{x(x+2)^2}\right):\dfrac{x^2-6}{x(x-4)}=\dfrac{x-4}{(x+2)^2}$,

что в общем случае не равно $\dfrac{x-2}{x+2}$. Например, при $x=3$ левая часть равна $-\dfrac{1}{25}$, а правая — $\dfrac{1}{5}$. Для исходного выражения допустимы значения $x\ne0,-2,4,\sqrt6,-\sqrt6$. Вероятно, в условии есть опечатка; чтобы доказать тождество, нужно уточнить его запись.

Докажите тождество \(\left(\dfrac{2x+5}{x^2+4x+4}-\dfrac{x+3}{x^2+2x}\right):\dfrac{x^2-6}{x^2-4x}=\dfrac{x-2}{x+2}\).

Ответ: