Докажите тождество: a) $$\frac{sin 2α + sin 6α}{cos 2α + cos 6α} = tg 4α$$

Докажем тождество: $$\frac{sin 2α + sin 6α}{cos 2α + cos 6α} = tg 4α$$

Сначала преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы суммы синусов и суммы косинусов:

sin α + sin β = 2 * sin((α + β) / 2) * cos((α - β) / 2)

cos α + cos β = 2 * cos((α + β) / 2) * cos((α - β) / 2)

Применим эти формулы к нашему выражению:

sin 2α + sin 6α = 2 * sin((2α + 6α) / 2) * cos((2α - 6α) / 2) = 2 * sin(4α) * cos(-2α)

cos 2α + cos 6α = 2 * cos((2α + 6α) / 2) * cos((2α - 6α) / 2) = 2 * cos(4α) * cos(-2α)

Тогда исходное выражение можно переписать как:

$$\frac{2 * sin(4α) * cos(-2α)}{2 * cos(4α) * cos(-2α)}$$

Сократим 2 и cos(-2α) (поскольку cos(-x) = cos(x)):

$$\frac{sin(4α)}{cos(4α)}$$

Мы знаем, что $$\frac{sin x}{cos x} = tg x$$.

Следовательно, $$\frac{sin(4α)}{cos(4α)} = tg(4α)$$.

Таким образом, тождество доказано.

Что и требовалось доказать: $$\frac{sin 2α + sin 6α}{cos 2α + cos 6α} = tg 4α$$