Домашнее задание 2. В треугольнике ABC угол C — прямой, BC = 3, AC = 4 и проведены биссектриса CD и медиана AM. Найти площадь треугольника CEM.

В условии точка E не определена: названы биссектриса CD и медиана AM, но не указано, как связана точка E с треугольником. Поэтому площадь треугольника CEM определить однозначно нельзя.

Если в обозначении CEM опечатка и требуется найти площадь треугольника CDM, то решение такое:

По теореме Пифагора: \(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\).

По теореме о биссектрисе: \(AD:DB=AC:CB=4:3\), поэтому \(DB=\frac{15}{7}\).

Поскольку AM — медиана, M — середина BC, значит \(CM=\frac{3}{2}\). Так как CD — биссектриса прямого угла C, угол DCM равен \(45^\circ\).

Следовательно, \(S_{CDM}=\frac12\cdot CD\cdot CM\cdot\sin45^\circ\). В прямоугольном треугольнике ACD: \(CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{16+(20/7)^2}=4\sqrt{74}/7\). Тогда \(S_{CDM}=\frac{3\sqrt{37}}{7}\).

Чтобы найти именно площадь CEM, нужно уточнить, кто такая точка E. Если подразумевался треугольник CDM, его площадь равна \(\frac{3\sqrt{37}}{7}\).