Домашнее задание 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка пересечения делит каждую из медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Пусть в треугольнике ABC медианы AM и BN пересекаются в точке G. Докажем, что G делит AM в отношении 2 : 1; тем же рассуждением это верно для любой медианы.

Выберем координаты: \(A(0,0)\), \(B(2,0)\), \(C(u,v)\), где \(v\ne0\). Тогда середины сторон BC и AC имеют координаты \(M(\frac{2+u}{2},\frac v2)\) и \(N(\frac u2,\frac v2)\).

Точка на AM имеет вид \((t\frac{2+u}{2},t\frac v2)\), а точка на BN — \((2+s(\frac u2-2),s\frac v2)\). Приравнивая координаты пересечения, из координаты y получаем \(t=s\), а из координаты x — \(t=s=\frac23\). Значит, медианы AM и BN пересекаются в точке G, причём \(AG=\frac23AM\), то есть \(AG:GM=2:1\).

Пусть третья медиана пересекает AM в точке H. Аналогичное вычисление для пары AM и этой медианы показывает, что их точка пересечения также находится на расстоянии \(\frac23AM\) от A. На отрезке AM такая точка единственна, поэтому H=G: все три медианы проходят через одну точку. Для каждой медианы повторение рассуждения даёт такое же отношение.

Ответ: медианы пересекаются в одной точке — центре тяжести треугольника; она делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.