6(доп.). При каких значениях у проб √x-2/x-4 принимает наибольшее значение?

6. (доп.) Найдем, при каких значениях x дробь $$\frac{\sqrt{x-2}}{x-4}$$ принимает наибольшее значение.

Пусть $$y = \frac{\sqrt{x-2}}{x-4}$$. Для того чтобы дробь имела смысл, необходимо, чтобы $$x-2 \ge 0$$ и $$x-4
e 0$$.

Из этого следует, что $$x \ge 2$$ и $$x
e 4$$.

Представим x-4 как: $$x-4 = (x-2) - 2$$.

Тогда $$y = \frac{\sqrt{x-2}}{(x-2) - 2}$$.

Обозначим $$\sqrt{x-2} = t$$, тогда $$x-2 = t^2$$.

Получим $$y = \frac{t}{t^2 - 2}$$.

Производная $$y$$ по $$t$$ равна: $$y'(t) = \frac{1(t^2 - 2) - t(2t)}{(t^2 - 2)^2} = \frac{t^2 - 2 - 2t^2}{(t^2 - 2)^2} = \frac{-t^2 - 2}{(t^2 - 2)^2}$$.

Так как $$t = \sqrt{x-2}$$, то $$t \ge 0$$. Производная $$y'(t)$$ всегда отрицательная, следовательно, функция убывает.

Наибольшее значение будет при наименьшем возможном t, но при этом $$x
e 4$$.

Наименьшее t будет при $$x = 2$$, тогда $$t = \sqrt{2-2} = 0$$, а дробь будет равна $$0$$.

Ответ: x=2