10. (Дополнительная задача.) Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке К. На стороне АВ отмечена точка N так, что AN = NK. Определите взаимное расположение прямых АС и NK.

Решение: 1. Поскольку AN = NK, то треугольник ANK – равнобедренный, и ∠NAK = ∠NKA. 2. АК - биссектриса угла A, следовательно, ∠BAK = ∠NAK = ∠NKA. 3. Пусть ∠NAK = ∠NKA = α. Тогда ∠BAC = 2α. 4. ∠NKA – внешний угол треугольника NKC, и ∠NKA = ∠NKC = ∠KCN + ∠CNK. 5. Заметим, что ∠NKA = ∠KCN + ∠CNK => ∠NAK = ∠CNK. 6. Отсюда следует, что прямые NK и AC параллельны, так как внутренние накрест лежащие углы равны (∠NAK = ∠CNK). Ответ: Прямые АС и NK параллельны.