9. Дополнительно. Найдите х, если известно, что числа х 2, √6х, х+5 являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Ответ: x = 4

Для геометрической прогрессии выполняется условие:

\[\frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2}\]

В нашем случае: \(b_1 = x - 2\), \(b_2 = \sqrt{6x}\), \(b_3 = x + 5\).

Подставляем в условие:

\[\frac{\sqrt{6x}}{x - 2} = \frac{x + 5}{\sqrt{6x}}\]

Умножаем обе части на \(\sqrt{6x}(x - 2)\):

\[6x = (x + 5)(x - 2)\]\[6x = x^2 + 3x - 10\]

Приводим к квадратному уравнению:

\[x^2 - 3x - 10 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\]\[x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5\]\[x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = -2\]

Проверяем корни:

Если \(x = 5\), то числа будут: 3, \(\sqrt{30}\), 10. Отношение \(\frac{\sqrt{30}}{3} \approx 1.8257\), \(\frac{10}{\sqrt{30}} \approx 1.8257\). Подходит.

Если \(x = -2\), то числа будут: -4, \(\sqrt{-12}\), 3. Корень из отрицательного числа не определен в действительных числах, поэтому не подходит.

Ответ: x = 5