15) Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одной и той же точки замкнутой трассы. Они должны пробежать несколько кругов. Спустя 20 минут, когда одному из них оставалось пробежать треть километра до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 5 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго. Запишите решение и ответ.

Пусть скорость первого бегуна равна $v_1$ км/ч, а скорость второго бегуна равна $v_2$ км/ч. Длина круга равна $S$ км. Из условия следует, что $v_2 = v_1 + 5$. Первый бегун пробежал круг за время $t_1 = \frac{S}{v_1}$ часов. Второй бегун пробежал круг за время $t_2 = \frac{S}{v_2}$ часов. Из условия задачи известно, что второй бегун пробежал первый круг на 5 минут раньше первого бегуна, то есть $t_1 - t_2 = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ часа. \frac{S}{v_1} - \frac{S}{v_2} = \frac{1}{12}$. Через 20 минут (\frac{1}{3} часа) первому бегуну оставалось пробежать $\frac{1}{3}$ км до окончания круга. Значит, за \frac{1}{3} часа он пробежал $S - \frac{1}{3}$ км. Таким образом, $\frac{1}{3}v_1 = S - \frac{1}{3}$, откуда $S = \frac{1}{3}v_1 + \frac{1}{3}$. Подставим $v_2 = v_1 + 5$ и $S = \frac{1}{3}v_1 + \frac{1}{3}$ в уравнение $\frac{S}{v_1} - \frac{S}{v_2} = \frac{1}{12}$: $\frac{\frac{1}{3}v_1 + \frac{1}{3}}{v_1} - \frac{\frac{1}{3}v_1 + \frac{1}{3}}{v_1 + 5} = \frac{1}{12}$ $\frac{v_1 + 1}{3v_1} - \frac{v_1 + 1}{3(v_1 + 5)} = \frac{1}{12}$ $\frac{(v_1 + 1)(v_1 + 5) - (v_1 + 1)v_1}{3v_1(v_1 + 5)} = \frac{1}{12}$ $\frac{(v_1 + 1)(v_1 + 5 - v_1)}{3v_1(v_1 + 5)} = \frac{1}{12}$ $\frac{5(v_1 + 1)}{3v_1(v_1 + 5)} = \frac{1}{12}$ $\frac{5(v_1 + 1)}{v_1(v_1 + 5)} = \frac{1}{4}$ $20(v_1 + 1) = v_1(v_1 + 5)$ $20v_1 + 20 = v_1^2 + 5v_1$ $v_1^2 - 15v_1 - 20 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = (-15)^2 - 4(1)(-20) = 225 + 80 = 305$ $v_1 = \frac{15 \pm \sqrt{305}}{2}$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $v_1 = \frac{15 + \sqrt{305}}{2} \approx \frac{15 + 17.46}{2} \approx 16.23$ км/ч **Ответ: $\frac{15 + \sqrt{305}}{2}$ км/ч или ≈ 16.23 км/ч**