7. Два кубика, связанные натянутой нитью, находятся в воде (см. рисунок). Верхний (со стороной a = 10 см) плавает, погрузившись в воду на три четверти объема, а нижний - касается дна, но вода под него подтекает. Сторона нижнего кубика равна а/2, а его плотность в 2 раза больше, чем у верхнего. Определите, при каких значениях плотности ρ материала верхнего кубика возможно такое состояние системы.

Для решения задачи рассмотрим условия равновесия каждого кубика и системы в целом.

Условия равновесия

• Верхний кубик плавает, погрузившись на три четверти объема. Это означает, что сила тяжести, действующая на верхний кубик, уравновешивается силой Архимеда и силой натяжения нити.
• Нижний кубик касается дна, но вода под него подтекает. Это означает, что на нижний кубик действуют сила тяжести, сила Архимеда и сила реакции опоры.

Обозначения

• $$a$$ – сторона верхнего кубика ($$a = 10$$ см),
• $$\rho$$ – плотность материала верхнего кубика,
• $$\rho_{0}$$ – плотность воды,
• $$T$$ – сила натяжения нити,
• $$g$$ – ускорение свободного падения.

Уравнения равновесия для верхнего кубика

Сила тяжести, действующая на верхний кубик: $$F_{тяж,1} = m_{1}g = \rho a^{3} g$$.

Сила Архимеда, действующая на верхний кубик: $$F_{A,1} = \rho_{0} V_{погр,1} g = \rho_{0} (\frac{3}{4} a^{3}) g$$.

Условие равновесия для верхнего кубика: $$F_{тяж,1} = F_{A,1} + T$$,

$$\rho a^{3} g = \rho_{0} (\frac{3}{4} a^{3}) g + T$$,

$$T = \rho a^{3} g - \rho_{0} (\frac{3}{4} a^{3}) g = a^{3} g (\rho - \frac{3}{4} \rho_{0})$$.

Уравнения равновесия для нижнего кубика

• Сторона нижнего кубика $$a/2$$, его объем $$V_{2} = (a/2)^{3} = a^{3}/8$$.
• Плотность нижнего кубика $$2\rho$$.
• Сила тяжести, действующая на нижний кубик: $$F_{тяж,2} = m_{2}g = 2\rho (a^{3}/8) g = \rho a^{3} g / 4$$.
• Сила Архимеда, действующая на нижний кубик: $$F_{A,2} = \rho_{0} V_{2} g = \rho_{0} (a^{3}/8) g$$.

Нижний кубик касается дна, поэтому на него действует сила реакции опоры $$N$$. Условие равновесия для нижнего кубика: $$F_{тяж,2} = F_{A,2} + N + T$$,

$$\frac{\rho a^{3} g}{4} = \frac{\rho_{0} a^{3} g}{8} + N + a^{3} g (\rho - \frac{3}{4} \rho_{0})$$.

Выразим силу реакции опоры $$N$$:

$$N = \frac{\rho a^{3} g}{4} - \frac{\rho_{0} a^{3} g}{8} - a^{3} g (\rho - \frac{3}{4} \rho_{0})$$,

$$N = a^{3} g (\frac{\rho}{4} - \frac{\rho_{0}}{8} - \rho + \frac{3}{4} \rho_{0}) = a^{3} g (\frac{5}{8} \rho_{0} - \frac{3}{4} \rho)$$.

Условие существования решения

Так как нижний кубик касается дна, но вода под него подтекает, то $$N \geq 0$$.

$$\frac{5}{8} \rho_{0} - \frac{3}{4} \rho \geq 0$$,

$$\frac{5}{8} \rho_{0} \geq \frac{3}{4} \rho$$,

$$\rho \leq \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{3} \rho_{0} = \frac{5}{6} \rho_{0}$$.

Ответ: Возможно такое состояние системы, если плотность материала верхнего кубика $$\rho \leq \frac{5}{6} \rho_{0}$$, где $$\rho_{0}$$ - плотность воды (1000 кг/м³).