5. В цилиндрическом сосуде с водой находятся связанные нитью кусок льда и брусок массой m и объёмом V. Нить перекинута через блок. Как и насколько изменится уровень воды в сосуде, когда лёд растает, если сначала брусок погружен в воду наполовину? Площадь дна сосуда S.

Для решения данной задачи необходимо рассмотреть два случая: когда лед не растаял и когда лед растаял.

Случай 1: Лед не растаял

• Лед и брусок связаны нитью и находятся в равновесии. Это означает, что сила тяжести, действующая на брусок и лед, уравновешивается силой Архимеда, действующей на погруженную часть бруска и льда.
• Запишем условие равновесия:

$$m_{б}g + m_{л}g = F_{A}$$, где

$$m_{б}$$ – масса бруска,

$$m_{л}$$ – масса льда,

$$F_{A}$$ – сила Архимеда.

$$F_{A} = \rho_{в}gV_{погр}$$, где

$$\rho_{в}$$ – плотность воды,

$$V_{погр}$$ – общий объем погруженной части бруска и льда.

$$m_{б}g + m_{л}g = \rho_{в}gV_{погр}$$, отсюда $$V_{погр} = \frac{m_{б} + m_{л}}{\rho_{в}}$$.

Случай 2: Лед растаял

• После того как лед растает, он превратится в воду. Масса воды, образовавшейся из льда, будет равна массе льда ($$m_{л}$$).
• Общий объем воды в сосуде увеличится на объем, который занимал растаявший лед. Объем воды, образовавшейся из льда, можно найти как $$V_{л} = \frac{m_{л}}{\rho_{в}}$$.
• При этом брусок останется в воде, и его погруженная часть останется прежней, так как масса бруска не изменилась.

Изменение уровня воды

• Общий объем погруженной части изменился только из-за таяния льда, то есть $$V_{изм} = V_{л} = \frac{m_{л}}{\rho_{в}}$$.
• Изменение уровня воды $$ \Delta h = \frac{V_{изм}}{S} = \frac{m_{л}}{\rho_{в}S}$$.

Условие задачи

• По условию, брусок погружен в воду наполовину. Это означает, что объем погруженной части бруска $$V_{погр,б} = \frac{V}{2}$$.
• Тогда, $$V_{погр} = V_{погр,б} + V_{погр,л} = \frac{V}{2} + V_{погр,л}$$.
• Из условия равновесия до таяния льда: $$V_{погр} = \frac{m_{б} + m_{л}}{\rho_{в}} = \frac{V}{2} + V_{погр,л}$$.
• После таяния льда изменение уровня воды $$ \Delta h = \frac{m_{л}}{\rho_{в}S}$$.

Решение

1. Выразим массу льда из условия равновесия до таяния:

$$\frac{m_{б} + m_{л}}{\rho_{в}} = \frac{V}{2} + V_{погр,л}$$,

$$m_{л} = \rho_{в}(\frac{V}{2} + V_{погр,л}) - m_{б}$$.

2. Подставим это в формулу для изменения уровня воды:

$$ \Delta h = \frac{\rho_{в}(\frac{V}{2} + V_{погр,л}) - m_{б}}{\rho_{в}S}$$,

$$ \Delta h = \frac{\frac{\rho_{в}V}{2} + \rho_{в}V_{погр,л} - m_{б}}{\rho_{в}S}$$.

Окончательно, уровень воды изменится на $$\Delta h = \frac{\frac{\rho_{в}V}{2} + \rho_{в}V_{погр,л} - m_{б}}{\rho_{в}S}$$.

Ответ: Уровень воды изменится на $$\Delta h = \frac{\frac{\rho_{в}V}{2} + \rho_{в}V_{погр,л} - m_{б}}{\rho_{в}S}$$.