6. Однородный куб плавает, погрузившись на глубину h в жидкость. На какую глубину в этой же жидкости погрузится куб с вдвое большей стороной, имеющий вдвое большую плотность?

Для решения задачи рассмотрим условия плавания куба в жидкости.

Условие плавания тела

Тело плавает, когда сила тяжести, действующая на тело, равна силе Архимеда, действующей на погруженную часть тела.

$$F_{тяж} = F_{A}$$, где

$$F_{тяж}$$ – сила тяжести,

$$F_{A}$$ – сила Архимеда.

$$mg = \rho_{ж}gV_{погр}$$, где

$$m$$ – масса тела,

$$\rho_{ж}$$ – плотность жидкости,

$$V_{погр}$$ – объем погруженной части тела.

Первый куб

• Пусть сторона первого куба равна $$a$$, тогда его объем $$V_{1} = a^{3}$$.
• Масса первого куба $$m_{1} = \rho_{1}V_{1} = \rho_{1}a^{3}$$, где $$\rho_{1}$$ – плотность первого куба.
• Объем погруженной части первого куба $$V_{погр,1} = a^{2}h$$.
• Запишем условие плавания для первого куба:

$$\rho_{1}a^{3}g = \rho_{ж}ga^{2}h$$,

$$\rho_{1}a = \rho_{ж}h$$.

Второй куб

• Сторона второго куба равна $$2a$$, тогда его объем $$V_{2} = (2a)^{3} = 8a^{3}$$.
• Плотность второго куба $$\rho_{2} = 2\rho_{1}$$.
• Масса второго куба $$m_{2} = \rho_{2}V_{2} = 2\rho_{1} \cdot 8a^{3} = 16\rho_{1}a^{3}$$.
• Пусть глубина погружения второго куба равна $$h_{2}$$, тогда объем погруженной части второго куба $$V_{погр,2} = (2a)^{2}h_{2} = 4a^{2}h_{2}$$.
• Запишем условие плавания для второго куба:

$$16\rho_{1}a^{3}g = \rho_{ж}g4a^{2}h_{2}$$,

$$16\rho_{1}a = 4\rho_{ж}h_{2}$$,

$$4\rho_{1}a = \rho_{ж}h_{2}$$.

Решение

• Выразим $$\rho_{1}a$$ из первого уравнения: $$\rho_{1}a = \rho_{ж}h$$
• Подставим во второе уравнение: $$4\rho_{ж}h = \rho_{ж}h_{2}$$
• Отсюда $$h_{2} = 4h$$.

Ответ: Второй куб погрузится на глубину $$4h$$.