Два простых числа, разность которых равна 2, называют числами-близнецами. В 2013 г. учёные доказали, что существует бесконечно много пар таких чисел. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов до 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 и 6n + 1. Найдите пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. в) Не все пары чисел вида 6n − 1 и 6n + 1 являются числами-близнецами. Найдите пары для указанных значений n, которые не являются числами-близнецами.

а) Просматриваем простые числа до 500 и отбираем пары, разность которых равна 2. Получаются пары:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463).

б) Подставляем значения n в выражения 6n − 1 и 6n + 1:

• n = 87: 521 и 523;
• n = 135: 809 и 811;
• n = 165: 989 и 991.

Первые две пары состоят из простых чисел. В третьей паре 989 = 23 · 43, поэтому она не является парой чисел-близнецов.

в) Среди указанных пар не является парой чисел-близнецов пара 989 и 991.

Ответ: а) 24 пары; б) (521, 523), (809, 811), (989, 991); в) (989, 991).