Решение

Пусть (\alpha = 60^\circ), (\beta = 45^\circ), а сторона, лежащая против угла (\alpha), равна (a = 8\sqrt{2}) см. Нужно найти сторону (b), лежащую против угла (\beta).

По теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$$ $$\frac{8\sqrt{2}}{\sin(60^\circ)} = \frac{b}{\sin(45^\circ)}$$ $$b = \frac{8\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(60^\circ)}$$

Т.к. (\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}) и (\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}), получаем:

$$b = \frac{8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \approx 9.24 \text{ см}$$

Ответ: Сторона, лежащая против меньшего угла равна \(\frac{16\sqrt{3}}{3} \approx 9.24 \text{ см}\).