25. Две касающиеся внешним образом в точке А окружности, радиусы ко- торых равны 8 и 24, вписаны в угол с вершиной D. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку А, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треуголь- ника АВС.

Пусть окружности с радиусами $$r = 8$$ и $$R = 24$$ касаются внешним образом в точке A и вписаны в угол с вершиной D. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку A, пересекает стороны угла в точках B и C. Нужно найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ - центры окружностей с радиусами 8 и 24 соответственно. Так как окружности вписаны в угол с вершиной D, то центры $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на биссектрисе этого угла.

Пусть $$O_1A = r = 8$$ и $$O_2A = R = 24$$. Тогда расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов: $$O_1O_2 = r + R = 8 + 24 = 32$$.

Так как BA - общая касательная, то $$O_1B ⊥ BA$$ и $$O_2C ⊥ CA$$. Треугольники $$DO_1B$$ и $$DO_2C$$ подобны по двум углам (угол D общий, углы при $$O_1$$ и $$O_2$$ прямые).

Из подобия следует, что $$\frac{DO_1}{DO_2} = \frac{O_1B}{O_2C} = \frac{r}{R} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$$.

Тогда $$DO_2 = 3DO_1$$, а $$O_1O_2 = DO_2 - DO_1 = 3DO_1 - DO_1 = 2DO_1$$. Следовательно, $$DO_1 = \frac{O_1O_2}{2} = \frac{32}{2} = 16$$.

Теперь найдем DO2: $$DO_2 = DO_1 + O_1O_2 = 16 + 32 = 48$$.

Используя теорему Пифагора для треугольника $$DO_1B$$:

$$DB = \sqrt{DO_1^2 - O_1B^2} = \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$$.

Аналогично для треугольника $$DO_2C$$:

$$DC = \sqrt{DO_2^2 - O_2C^2} = \sqrt{48^2 - 24^2} = \sqrt{2304 - 576} = \sqrt{1728} = 24\sqrt{3}$$.

Теперь найдем BC: $$BC = DB + DC = 8\sqrt{3} + 24\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$$.

По теореме косинусов, в треугольнике DBC:

$$BC^2 = DB^2 + DC^2 - 2 \cdot DB \cdot DC \cdot cos∠D$$

Из $$sin(\frac{∠D}{2}) = \frac{r}{DO_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$ следует, что $$\frac{∠D}{2} = 30°$$ , тогда $$∠D = 60°$$.

По теореме синусов радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен:

$$\frac{BC}{sin∠A} = 2R$$

Необходимо найти угол ∠BAC. Известно, что ∠O1AO2 = 90°, так как AB и AC - касательные, а AO1 и AO2 - радиусы, проведенные в точку касания.

Тогда ∠BAC = 90°

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABC:

$$R = \frac{BC}{2 \cdot sin∠A} = \frac{32 \sqrt{3}}{2 \cdot sin(90°)} = \frac{32 \sqrt{3}}{2} = 16 \sqrt{3}$$

Ответ: $$16\sqrt{3}$$