24. В остроугольном треугольнике BCD проведены высоты ВВ1 и СС1. Докажите, что углы В1 ВС и В1СС1 равны.

В остроугольном треугольнике BCD проведены высоты BB1 и CC1. Нужно доказать, что углы B1BC и B1CC1 равны.

Рассмотрим четырехугольник BC1HB1, где H - точка пересечения высот BB1 и CC1.

Так как BB1 и CC1 - высоты, то $$∠BB_1C = 90°$$ и $$∠CC_1B = 90°$$.

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, следовательно,

$$∠BC_1H + ∠BB_1C + ∠B_1HC + ∠CBB_1 = 360°$$

$$90° + 90° + ∠B_1HC + ∠CBC_1 = 360°$$

$$∠B_1HC + ∠CBC_1 = 180°$$

Углы B1HC и BHC - смежные, следовательно, их сумма равна 180°.

$$∠B_1HC + ∠BHC = 180°$$

Значит, $$∠CBC_1 = ∠BHC$$.

Рассмотрим треугольник BHC. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

$$∠BHC = 180° - ∠HBC - ∠HCB$$

$$∠HBC = 90° - ∠C$$

$$∠HCB = 90° - ∠B$$

$$∠BHC = 180° - (90° - ∠C) - (90° - ∠B) = ∠C + ∠B$$

Так как $$∠CBC_1 = ∠BHC$$, то $$∠CBC_1 = ∠C + ∠B$$.

Углы B1BC и C1CB являются острыми углами в прямоугольных треугольниках BB1C и CC1B, следовательно,

$$∠B_1BC = 90° - ∠C$$

$$∠C_1CB = 90° - ∠B$$

Но $$∠CBC_1 = ∠C + ∠B$$ (выше доказано), следовательно,

$$∠B_1BC = ∠B_1CC_1$$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано