105. Две окружности пересекают- ся в точках М и N. Прямая, проходящая через точку М, пересекает окружности в точ- ках А и В, а прямая, про- ходящая через точку N, — в точках Си D (рис. 17). Найдите угол ВАС, если LABD = 108°.

Пусть даны две окружности, пересекающиеся в точках M и N. Прямая, проходящая через точку M, пересекает окружности в точках A и B, а прямая, проходящая через точку N, - в точках C и D. Необходимо найти угол BAC, если ∠ABD = 108°.

Четырехугольник ABDC - вписанный в окружность.

∠ABD = 108°. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Угол ABD - вписанный. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Рассмотрим четырехугольник ABNM. Он вписанный, следовательно, ∠ABN + ∠AMN = 180°

∠ABN = ∠ABD = 108°, значит ∠AMN = 180° - 108° = 72°

Угол BAC - вписанный и опирается на дугу BC.

Угол BDC - вписанный и опирается на ту же дугу BC.

Значит, углы BAC и BDC равны.

∠BAC = ∠BDC

Четырехугольник BDCN - вписанный, значит, ∠NBC + ∠NDC = 180°.

∠NBC = 180° - ∠AMB

∠BAC = 180° - ∠ABD = 180° - 108° = 72°

Ответ: 72°