2. Две планеты обращаются по круговым орбитам вокруг звезды. Модули сил притяжения планет к звезде одинаковы. Масса первой из планет в четыре раза меньше, чем у второй. Каково отношение \(\frac{R_1}{R_2}\) радиуса орбиты первой планеты к радиусу второй планеты?

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения между двумя телами массы (m_1) и (m_2), находящимися на расстоянии R друг от друга, равна:

\(F = G \frac{m_1 m_2}{R^2}\)

В нашем случае, сила притяжения между планетой и звездой одинакова для обеих планет:

(F_1 = F_2)

\(G \frac{m_{1з} m_1}{R_1^2} = G \frac{m_{2з} m_2}{R_2^2}\) , где (m_{1з}) и (m_{2з}) - массы звезд, а (m_1) и (m_2) - массы планет. Но так как обе планеты обращаются вокруг одной и той же звезды, (m_{1з} = m_{2з} = m_з).

\(G \frac{m_з m_1}{R_1^2} = G \frac{m_з m_2}{R_2^2}\)

Сокращаем (G) и (m_з):

\(\frac{m_1}{R_1^2} = \frac{m_2}{R_2^2}\)

Из условия задачи \(m_1 = \frac{1}{4} m_2\). Подставляем это в уравнение:

\(\frac{\frac{1}{4} m_2}{R_1^2} = \frac{m_2}{R_2^2}\)

\(\frac{1}{4R_1^2} = \frac{1}{R_2^2}\)

(R_2^2 = 4R_1^2)

(R_2 = 2R_1)

Отсюда:

\(\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}\)

Ответ: **1/2**