1. Две стороны треугольника равны 6 см и 4√2 см, а угол между ними - 135°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. 2. В треугольнике АВС известно, что АС = 9√3 см, ∠B = 60°, ∠C= 45°. Найдите сторону АВ треугольника. 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным явля- ется треугольник со сторонами 9 см, 10 см и 14 см. 4. Одна сторона треугольника на 10 см меньше другой, а угол между ни- ми равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторо- на равна 14 см. 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 15 см. 6. Стороны треугольника равны 5 см, 7 см и 10 см. Найдите медиану тре- угольника, проведённую к его большей стороне,

1. Пусть $$a = 6 \text{ см}$$, $$b = 4\sqrt{2} \text{ см}$$, $$\gamma = 135^\circ$$. Тогда по теореме косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\gamma} = 6^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos{135^\circ} = 36 + 32 - 48\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 68 + 48 = 116$$ $$c = \sqrt{116} = 2\sqrt{29} \text{ см}$$ Площадь треугольника равна: $$S = \frac{1}{2} ab \cdot \sin{\gamma} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sin{135^\circ} = 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12 \text{ см}^2$$ 2. Дано: $$\triangle ABC$$, $$AC = 9\sqrt{3} \text{ см}$$, $$\angle B = 60^\circ$$, $$\angle C = 45^\circ$$. Найти: $$AB$$. По теореме синусов: $$\frac{AB}{\sin{\angle C}} = \frac{AC}{\sin{\angle B}}$$ $$AB = \frac{AC \cdot \sin{\angle C}}{\sin{\angle B}} = \frac{9\sqrt{3} \cdot \sin{45^\circ}}{\sin{60^\circ}} = \frac{9\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 9\sqrt{2} \text{ см}$$ 3. Пусть $$a = 9 \text{ см}$$, $$b = 10 \text{ см}$$, $$c = 14 \text{ см}$$. Проверим, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным. Найдем наибольшую сторону: $$c = 14 \text{ см}$$. $$a^2 + b^2 = 9^2 + 10^2 = 81 + 100 = 181$$ $$c^2 = 14^2 = 196$$ Т.к. $$c^2 > a^2 + b^2$$, то треугольник тупоугольный. 4. Пусть одна сторона $$x \text{ см}$$, другая $$(x+10) \text{ см}$$. Третья сторона равна $$14 \text{ см}$$, а угол между сторонами $$x \text{ см}$$ и $$(x+10) \text{ см}$$ равен $$60^\circ$$. По теореме косинусов: $$14^2 = x^2 + (x+10)^2 - 2x(x+10) \cdot \cos{60^\circ}$$ $$196 = x^2 + x^2 + 20x + 100 - 2x(x+10) \cdot \frac{1}{2}$$ $$196 = 2x^2 + 20x + 100 - x^2 - 10x$$ $$x^2 + 10x - 96 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 100 + 384 = 484$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 22}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 22}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$ Т.к. длина стороны не может быть отрицательной, то $$x = 6 \text{ см}$$. Тогда другая сторона $$x+10 = 6+10 = 16 \text{ см}$$. Периметр треугольника равен: $$P = 6 + 16 + 14 = 36 \text{ см}$$ 5. Пусть стороны треугольника $$a = 5 \text{ см}$$, $$b = 12 \text{ см}$$, $$c = 15 \text{ см}$$. Полупериметр треугольника: $$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+12+15}{2} = \frac{32}{2} = 16 \text{ см}$$ Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-5)(16-12)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 11 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{64 \cdot 11} = 8\sqrt{11} \text{ см}^2$$ Радиус вписанной окружности: $$r = \frac{S}{p} = \frac{8\sqrt{11}}{16} = \frac{\sqrt{11}}{2} \text{ см}$$ 6. Пусть стороны треугольника $$a = 5 \text{ см}$$, $$b = 7 \text{ см}$$, $$c = 10 \text{ см}$$. Медиана, проведённая к стороне $$c = 10 \text{ см}$$, равна: $$m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 7^2 - 10^2} = \frac{1}{2} \sqrt{50 + 98 - 100} = \frac{1}{2} \sqrt{48} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$$ Ответ: 1) $$2\sqrt{29} \text{ см}$$, $$12 \text{ см}^2$$; 2) $$9\sqrt{2} \text{ см}$$; 3) тупоугольный; 4) $$36 \text{ см}$$; 5) $$\frac{\sqrt{11}}{2} \text{ см}$$; 6) $$2\sqrt{3} \text{ см}$$