1. Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними - 120°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. 2. В треугольнике АВС известно, что АС = 5√2 см, В=45°, ∠C= 30°. Найдите сторону АВ треугольника 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным явля- ется треугольник со сторонами 6 см 8 см и 11 см. 4. Одна сторона треугольника на 3 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 7 см. 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 4 см, 13 см и 15 см. 6. Стороны треугольника равны 4 см, 5 см и 7 см. Найдите медиану тре угольника, проведённую к его меньшей стороне.

1. Пусть $$a = 10 \text{ см}$$, $$b = 12 \text{ см}$$, $$\gamma = 120^\circ$$. Тогда по теореме косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\gamma} = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos{120^\circ} = 100 + 144 - 240 \cdot (-\frac{1}{2}) = 244 + 120 = 364$$ $$c = \sqrt{364} = 2\sqrt{91} \text{ см}$$ Площадь треугольника равна: $$S = \frac{1}{2} ab \cdot \sin{\gamma} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin{120^\circ} = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \text{ см}^2$$ 2. Дано: $$\triangle ABC$$, $$AC = 5\sqrt{2} \text{ см}$$, $$\angle B = 45^\circ$$, $$\angle C = 30^\circ$$. Найти: $$AB$$. $$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$$ По теореме синусов: $$\frac{AB}{\sin{\angle C}} = \frac{AC}{\sin{\angle B}}$$ $$AB = \frac{AC \cdot \sin{\angle C}}{\sin{\angle B}} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \sin{30^\circ}}{\sin{45^\circ}} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5 \text{ см}$$ 3. Пусть $$a = 6 \text{ см}$$, $$b = 8 \text{ см}$$, $$c = 11 \text{ см}$$. Проверим, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным. Найдем наибольшую сторону: $$c = 11 \text{ см}$$. $$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$ $$c^2 = 11^2 = 121$$ Т.к. $$c^2 > a^2 + b^2$$, то треугольник тупоугольный. 4. Пусть одна сторона $$x \text{ см}$$, другая $$(x+3) \text{ см}$$. Третья сторона равна $$7 \text{ см}$$, а угол между сторонами $$x \text{ см}$$ и $$(x+3) \text{ см}$$ равен $$60^\circ$$. По теореме косинусов: $$7^2 = x^2 + (x+3)^2 - 2x(x+3) \cdot \cos{60^\circ}$$ $$49 = x^2 + x^2 + 6x + 9 - 2x(x+3) \cdot \frac{1}{2}$$ $$49 = 2x^2 + 6x + 9 - x^2 - 3x$$ $$x^2 + 3x - 40 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$ Т.к. длина стороны не может быть отрицательной, то $$x = 5 \text{ см}$$. Тогда другая сторона $$x+3 = 5+3 = 8 \text{ см}$$. Периметр треугольника равен: $$P = 5 + 8 + 7 = 20 \text{ см}$$ 5. Пусть стороны треугольника $$a = 4 \text{ см}$$, $$b = 13 \text{ см}$$, $$c = 15 \text{ см}$$. Полупериметр треугольника: $$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+13+15}{2} = \frac{32}{2} = 16 \text{ см}$$ Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}^2$$ Радиус вписанной окружности: $$r = \frac{S}{p} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1,5 \text{ см}$$ 6. Пусть стороны треугольника $$a = 4 \text{ см}$$, $$b = 5 \text{ см}$$, $$c = 7 \text{ см}$$. Медиана, проведённая к стороне $$a = 4 \text{ см}$$, равна: $$m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 7^2 - 4^2} = \frac{1}{2} \sqrt{50 + 98 - 16} = \frac{1}{2} \sqrt{132} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 33} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{33} = \sqrt{33} \text{ см}$$ Ответ: 1) $$2\sqrt{91} \text{ см}$$, $$30\sqrt{3} \text{ см}^2$$; 2) $$5 \text{ см}$$; 3) тупоугольный; 4) $$20 \text{ см}$$; 5) $$1,5 \text{ см}$$; 6) $$\sqrt{33} \text{ см}$$