1. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними - 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь 2. В треугольнике АВС известно, что АВ = 3√2 см, ∠C=45°, ∠A = 120°. Найдите сторону ВС треугольника. 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным явля- ется треугольник со сторонами 7 см, 10 см и 13 см. 4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 28 см. 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторо нами 13 см, 20 см и 21 см. 6. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, — 14 см. Найдите неизвестную сторону треуголь ника.

1. Пусть $$a = 6 \text{ см}$$, $$b = 8 \text{ см}$$, $$\gamma = 60^\circ$$. Тогда по теореме косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\gamma} = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos{60^\circ} = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{1}{2} = 100 - 48 = 52$$ $$c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \text{ см}$$ Площадь треугольника равна: $$S = \frac{1}{2} ab \cdot \sin{\gamma} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin{60^\circ} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ см}^2$$ 2. Дано: $$\triangle ABC$$, $$AB = 3\sqrt{2} \text{ см}$$, $$\angle C = 45^\circ$$, $$\angle A = 120^\circ$$. Найти: $$BC$$. $$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (120^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$$ По теореме синусов: $$\frac{BC}{\sin{\angle A}} = \frac{AB}{\sin{\angle C}}$$ $$BC = \frac{AB \cdot \sin{\angle A}}{\sin{\angle C}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin{120^\circ}}{\sin{45^\circ}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{3} \text{ см}$$ 3. Пусть $$a = 7 \text{ см}$$, $$b = 10 \text{ см}$$, $$c = 13 \text{ см}$$. Проверим, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным. Найдем наибольшую сторону: $$c = 13 \text{ см}$$. $$a^2 + b^2 = 7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149$$ $$c^2 = 13^2 = 169$$ Т.к. $$c^2 > a^2 + b^2$$, то треугольник тупоугольный. 4. Пусть одна сторона $$x \text{ см}$$, другая $$(x+8) \text{ см}$$. Третья сторона равна $$28 \text{ см}$$, а угол между сторонами $$x \text{ см}$$ и $$(x+8) \text{ см}$$ равен $$120^\circ$$. По теореме косинусов: $$28^2 = x^2 + (x+8)^2 - 2x(x+8) \cdot \cos{120^\circ}$$ $$784 = x^2 + x^2 + 16x + 64 - 2x(x+8) \cdot (-\frac{1}{2})$$ $$784 = 2x^2 + 16x + 64 + x^2 + 8x$$ $$3x^2 + 24x - 720 = 0$$ $$x^2 + 8x - 240 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 64 + 960 = 1024$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{1024}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 32}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{1024}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 32}{2} = \frac{-40}{2} = -20$$ Т.к. длина стороны не может быть отрицательной, то $$x = 12 \text{ см}$$. Тогда другая сторона $$x+8 = 12+8 = 20 \text{ см}$$. Периметр треугольника равен: $$P = 12 + 20 + 28 = 60 \text{ см}$$ 5. Пусть стороны треугольника $$a = 13 \text{ см}$$, $$b = 20 \text{ см}$$, $$c = 21 \text{ см}$$. Полупериметр треугольника: $$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+20+21}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ см}$$ Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 49} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 126 \text{ см}^2$$ Радиус описанной окружности: $$R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 20 \cdot 21}{4 \cdot 126} = \frac{13 \cdot 5 \cdot 21}{126} = \frac{13 \cdot 5}{6} = \frac{65}{6} = 10\frac{5}{6} \text{ см}$$ 6. Пусть стороны треугольника $$a = 6 \text{ см}$$, $$b = 8 \text{ см}$$, а медиана, проведённая к третьей стороне $$c$$, равна $$m_c = 14 \text{ см}$$. Медиана, проведённая к стороне $$c$$, равна: $$m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$$ $$14 = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 8^2 - c^2}$$ $$28 = \sqrt{72 + 128 - c^2}$$ $$28^2 = 200 - c^2$$ $$784 = 200 - c^2$$ $$c^2 = 200 - 784 = -584$$ Т.к. $$c^2$$ не может быть отрицательным, то такого треугольника не существует. Ответ: 1) $$2\sqrt{13} \text{ см}$$, $$12\sqrt{3} \text{ см}^2$$; 2) $$3\sqrt{3} \text{ см}$$; 3) тупоугольный; 4) $$60 \text{ см}$$; 5) $$10\frac{5}{6} \text{ см}$$; 6) такого треугольника не существует