Две стороны треугольника равны 8 см и 4√3 см, а угол между ними 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

По теореме косинусов найдем третью сторону треугольника:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$$, где $$a = 8$$ см, $$b = 4\sqrt{3}$$ см, $$\gamma = 30^{\circ}$$.

$$c^2 = 8^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ}) = 64 + 48 - 64\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 112 - 64 \cdot \frac{3}{2} = 112 - 96 = 16$$

$$c = \sqrt{16} = 4$$ см

Теперь найдем площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 8\sqrt{3}$$ см²

Ответ: Третья сторона равна 4 см, площадь треугольника равна $$8\sqrt{3}$$ см².