Две стороны треугольника равны 8 см и 4√3 см, а угол между ними — 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Пусть a = 8 см, b = 4√3 см, γ = 30°.

По теореме косинусов найдем третью сторону c:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ)$$

$$c^2 = 8^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot cos(30^{\circ})$$

$$c^2 = 64 + 16 \cdot 3 - 64\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$c^2 = 64 + 48 - 32 \cdot 3$$

$$c^2 = 112 - 96 = 16$$

$$c = \sqrt{16} = 4$$

Итак, третья сторона треугольника равна 4 см.

Площадь треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(γ)$$

$$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot sin(30^{\circ})$$

$$S = 16\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}$$

$$S = 8\sqrt{3}$$

Итак, площадь треугольника равна $$8\sqrt{3}$$ квадратных сантиметров.

Ответ: 4 см, $$8\sqrt{3}$$ см²