1. Две стороны треугольника равны 13 см и 3√75 см, а угол, противолежащий большей из них, равен 120°. Найдите третью сторону и другие углы этого треугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов и теоремой синусов.

Обозначим стороны треугольника: $$a = 13 \text{ см}$$, $$b = 3\sqrt{75} = 3\sqrt{25 \cdot 3} = 3 \cdot 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3} \text{ см}$$, $$\gamma = 120^\circ$$ - угол, противолежащий стороне b.

1. Найдем третью сторону c, используя теорему косинусов:

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\gamma)$$ $$c^2 = b^2 - a^2 + 2ac \cdot \cos(\gamma)$$ $$(15\sqrt{3})^2 = 13^2 + c^2 - 2 \cdot 13 \cdot c \cdot \cos(120^\circ)$$ $$225 \cdot 3 = 169 + c^2 - 26c \cdot (-\frac{1}{2})$$ $$675 = 169 + c^2 + 13c$$ $$c^2 + 13c - 506 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-506) = 169 + 2024 = 2193$$ $$c_1 = \frac{-13 + \sqrt{2193}}{2}$$ $$c_2 = \frac{-13 - \sqrt{2193}}{2}$$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то:

$$c = \frac{-13 + \sqrt{2193}}{2} \approx \frac{-13 + 46.83}{2} \approx \frac{33.83}{2} \approx 16.92 \text{ см}$$

2. Теперь найдем углы α и β, используя теорему синусов:

$$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\gamma)}$$ $$\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\gamma)}{b} = \frac{13 \cdot \sin(120^\circ)}{15\sqrt{3}} = \frac{13 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{15\sqrt{3}} = \frac{13}{30}$$ $$\alpha = \arcsin(\frac{13}{30}) \approx 25.65^\circ$$

3. Найдем угол β:

$$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 25.65^\circ - 120^\circ = 34.35^\circ$$

Ответ: Третья сторона равна приблизительно 16.92 см, угол α ≈ 25.65°, угол β ≈ 34.35°.