1. Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними 120°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Решение: Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов и формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними. **1. Найдём третью сторону (c) треугольника по теореме косинусов:** $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$$, где $$a = 10$$ см, $$b = 12$$ см, $$\gamma = 120^\circ$$. $$c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot cos(120^\circ)$$ $$cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$$, поэтому: $$c^2 = 100 + 144 - 240 \cdot (-\frac{1}{2}) = 100 + 144 + 120 = 364$$ $$c = \sqrt{364} = 2\sqrt{91}$$ см **2. Найдём площадь треугольника (S):** $$S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(\gamma)$$, где $$a = 10$$ см, $$b = 12$$ см, $$\gamma = 120^\circ$$. $$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot sin(120^\circ)$$ $$sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, поэтому: $$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$$ см$$^2$$ Ответ: Третья сторона треугольника равна $$2\sqrt{91}$$ см, а площадь треугольника равна $$30\sqrt{3}$$ см$$^2$$.