Две стороны треугольника равны 3 и 4, а угол между этими сторонами равен 60°. Решите этот треугольник. (Найдите все стороны и углы треугольника.)

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим известные элементы. Пусть \( AB = 3 \), \( AC = 4 \), а угол \( ∠A = 60° \).
2. Шаг 2: Найдем сторону BC (обозначим ее 'a') по теореме косинусов:
   \( a^2 = AB^2 + AC^2 - 2 · AB · AC · · · · A \)
   \( a^2 = 3^2 + 4^2 - 2 · 3 · 4 · · · 60° \)
   \( a^2 = 9 + 16 - 24 · \frac{1}{2} \)
   \( a^2 = 25 - 12 = 13 \)
   \( a = \sqrt{13} \).
3. Шаг 3: Найдем угол B (обозначим его \( ∠B \)) по теореме синусов:
   \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \)
   \( \frac{\sqrt{13}}{\sin 60°} = \frac{4}{\sin B} \)
   \( \sin B = \frac{4 · \sin 60°}{\sqrt{13}} = \frac{4 · · \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{39}}{13} \).
4. Шаг 4: Вычислим \( ∠B \) (приблизительно):
   \( ∠B = · · · · \frac{2\sqrt{39}}{13} \) ≈ 51.06°
5. Шаг 5: Найдем угол C (обозначим его \( ∠C \)):
   \( ∠C = 180° - 60° - ∠B · · · · \)
   \( ∠C = 180° - 60° - 51.06° · · · · = 68.94° \).
6. Шаг 6: Найдем \( · · · C \) точнее, используя теорему косинусов:
   \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab · · · C \)
   \( 3^2 = (\sqrt{13})^2 + 4^2 - 2 · \sqrt{13} · 4 · · · C \)
   \( 9 = 13 + 16 - 8\sqrt{13} · · · C \)
   \( 9 = 29 - 8\sqrt{13} · · · C \)
   \( 8\sqrt{13} · · · C = 20 \)
   \( · · · C = \frac{20}{8\sqrt{13}} = \frac{5}{2\sqrt{13}} = \frac{5\sqrt{13}}{26} \).
7. Шаг 7: Найдем \( ∠C \) приблизительно:
   \( ∠C = · · · · · · · · · · · \frac{5\sqrt{13}}{26} \) ≈ 68.94°

Ответ: BC = √13, cos ∠B = 2√39 / 13, cos ∠C = 5√13 / 26