Две стороны треугольника равны 6 см и 9 см, а синус угла между ними равен \(\frac{2\sqrt2}{3}\). Найдите третью сторону треугольника.

Синус заданного угла не определяет его однозначно: угол может быть острым или тупым. Поэтому возможны два значения косинуса: \(\cos\alpha=\frac13\) или \(\cos\alpha=-\frac13\).

По теореме косинусов для третьей стороны \(c\): \(c^2=6^2+9^2-2\cdot6\cdot9\cos\alpha\).

1. Если \(\cos\alpha=\frac13\), то \(c^2=36+81-108\cdot\frac13=81\), значит, \(c=9\) см.
2. Если \(\cos\alpha=-\frac13\), то \(c^2=36+81+108\cdot\frac13=153\), значит, \(c=3\sqrt{17}\) см.

Ответ: 9 см или \(3\sqrt{17}\) см.