EF — средняя линия трапеции ABCD, E₁F₁ — средняя линия трапеции AEFD, E₂F₂ — средняя линия трапеции EBCF, E₁F₁ = 18, E₂F₂ = 12. Найти: AD.

Обозначим основания исходной трапеции: AD = a, BC = b. Тогда средняя линия EF равна \(\frac{a+b}{2}\).

Для нижней трапеции AEFD: \(E_1F_1=\frac{AD+EF}{2}=18\), поэтому \(2a+b=72\).

Для верхней трапеции EBCF: \(E_2F_2=\frac{EF+BC}{2}=12\), поэтому \(a+2b=48\).

Решим систему: из первого уравнения \(b=72-2a\). Подставим во второе: \(a+2(72-2a)=48\), откуда \(a=32\). Но проверка показывает, что исходные уравнения следует записать с учётом подстановки EF: \(E_1F_1=\frac{a+(a+b)/2}{2}=\frac{3a+b}{4}=18\), \(E_2F_2=\frac{(a+b)/2+b}{2}=\frac{a+3b}{4}=12\). Следовательно, \(3a+b=72\), \(a+3b=48\). Вычитая второе уравнение из первого, получаем \(2a-2b=24\), то есть \(a-b=12\). Вместе с \(a+3b=48\) это даёт \(b=9\), \(a=21\).

Ответ: AD = 21.