88 Если ABCD – прямоугольник, А1В1С1D1 – квадрат, G – центр тяжести, найдите AA₁ + BB₁ + CC₁ + DD₁.

Пусть O – центр прямоугольника ABCD. Тогда, поскольку G – центр тяжести квадрата A₁B₁C₁D₁, имеем:

\(\vec{AA_1} = \vec{AO} + \vec{OG} + \vec{GA_1}\)

\(\vec{BB_1} = \vec{BO} + \vec{OG} + \vec{GB_1}\)

\(\vec{CC_1} = \vec{CO} + \vec{OG} + \vec{GC_1}\)

\(\vec{DD_1} = \vec{DO} + \vec{OG} + \vec{GD_1}\)

Сумма векторов:

\(\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} + \vec{DD_1} = (\vec{AO} + \vec{BO} + \vec{CO} + \vec{DO}) + 4\vec{OG} + (\vec{GA_1} + \vec{GB_1} + \vec{GC_1} + \vec{GD_1})\)

Так как O – центр прямоугольника, то \(\vec{AO} + \vec{CO} = 0\) и \(\vec{BO} + \vec{DO} = 0\). Поэтому \(\vec{AO} + \vec{BO} + \vec{CO} + \vec{DO} = 0\).

Так как G – центр тяжести квадрата, то \(\vec{GA_1} + \vec{GB_1} + \vec{GC_1} + \vec{GD_1} = 0\).

Следовательно:

\(\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} + \vec{DD_1} = 4\vec{OG}\)

Если прямоугольник ABCD и квадрат A₁B₁C₁D₁ имеют общий центр, то O и G совпадают, и \(\vec{OG} = 0\). В этом случае:

\(\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} + \vec{DD_1} = 0\)

Ответ: \(4\vec{OG}\)