87 Если Р, В, Д,Т,О середины соответствующих сторон, найдите PC + RD + SE + TA.

Предположим, что P, R, S, T и O - середины сторон AB, BC, CD, DA и OB соответственно. Тогда:

• \(\vec{PC} = \vec{PB} + \vec{BC}\)
• \(\vec{RD} = \vec{RC} + \vec{CD}\)
• \(\vec{SE} = \vec{SD} + \vec{DE}\)
• \(\vec{TA} = \vec{TD} + \vec{DA}\)

Сумма этих векторов:

\(\vec{PC} + \vec{RD} + \vec{SE} + \vec{TA} = (\vec{PB} + \vec{BC}) + (\vec{RC} + \vec{CD}) + (\vec{SD} + \vec{DE}) + (\vec{TD} + \vec{DA})\)

Поскольку P, R, S и T - середины сторон, то:

• \(\vec{PB} = -\frac{1}{2} \vec{AB}\)
• \(\vec{RC} = -\frac{1}{2} \vec{BC}\)
• \(\vec{SD} = -\frac{1}{2} \vec{CD}\)
• \(\vec{TA} = -\frac{1}{2} \vec{DA}\)

Тогда сумма векторов будет:

\(\vec{PC} + \vec{RD} + \vec{SE} + \vec{TA} = (-\frac{1}{2} \vec{AB} + \vec{BC}) + (-\frac{1}{2} \vec{BC} + \vec{CD}) + (-\frac{1}{2} \vec{CD} + \vec{DE}) + (-\frac{1}{2} \vec{DA} + \vec{DA})\)

При упрощении получим:

\(\vec{PC} + \vec{RD} + \vec{SE} + \vec{TA} = \frac{1}{2}(\vec{DA} - \vec{AB} + \vec{BC} - \vec{CD})\)

Ответ: \(\vec{PC} + \vec{RD} + \vec{SE} + \vec{TA} = \frac{1}{2}(\vec{DA} - \vec{AB} + \vec{BC} - \vec{CD})\)