17) Если бассейн наполнять только через первую трубу, то он наполнится за 8 часов, если только через вторую трубу – за 12 часов, а если только через третью трубу – за 24 часа. За какое время наполнится бассейн, если все три трубы открыть на 3 часа, а затем какую-то одну из них закрыть? Укажите все возможные варианты ответа, выразив их в часах и минутах.

Пусть $$V$$ – объем бассейна. Тогда производительности труб равны: - Первая труба: $$\frac{V}{8}$$ (объема в час) - Вторая труба: $$\frac{V}{12}$$ (объема в час) - Третья труба: $$\frac{V}{24}$$ (объема в час) Когда все три трубы открыты, их общая производительность равна $$\frac{V}{8} + \frac{V}{12} + \frac{V}{24} = V(\frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24}) = V(\frac{3 + 2 + 1}{24}) = \frac{6V}{24} = \frac{V}{4}$$. За 3 часа они наполнят $$3 \cdot \frac{V}{4} = \frac{3V}{4}$$ бассейна. Останется наполнить $$V - \frac{3V}{4} = \frac{V}{4}$$. Теперь рассмотрим три случая: 1. Закрыли первую трубу. Остаются вторая и третья трубы. Их общая производительность равна $$\frac{V}{12} + \frac{V}{24} = \frac{2V + V}{24} = \frac{3V}{24} = \frac{V}{8}$$. Время, чтобы наполнить оставшуюся часть бассейна, равно $$\frac{V/4}{V/8} = \frac{V}{4} \cdot \frac{8}{V} = 2$$ часа. Общее время равно $$3 + 2 = 5$$ часов. **Ответ: 5 часов 0 минут** 2. Закрыли вторую трубу. Остаются первая и третья трубы. Их общая производительность равна $$\frac{V}{8} + \frac{V}{24} = \frac{3V + V}{24} = \frac{4V}{24} = \frac{V}{6}$$. Время, чтобы наполнить оставшуюся часть бассейна, равно $$\frac{V/4}{V/6} = \frac{V}{4} \cdot \frac{6}{V} = \frac{6}{4} = 1.5$$ часа. Общее время равно $$3 + 1.5 = 4.5$$ часа, или 4 часа 30 минут. **Ответ: 4 часа 30 минут** 3. Закрыли третью трубу. Остаются первая и вторая трубы. Их общая производительность равна $$\frac{V}{8} + \frac{V}{12} = \frac{3V + 2V}{24} = \frac{5V}{24}$$. Время, чтобы наполнить оставшуюся часть бассейна, равно $$\frac{V/4}{5V/24} = \frac{V}{4} \cdot \frac{24}{5V} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5} = 1.2$$ часа. Общее время равно $$3 + 1.2 = 4.2$$ часа, или 4 часа 12 минут. **Ответ: 4 часа 12 минут** **Ответы: 5 ч 0 мин; 4 ч 30 мин; 4 ч 12 мин**