Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объём увеличится на 169. Hайдите ребро куба.

Пусть ребро куба равно а. Тогда объем куба равен $$V = a^3$$.

Если каждое ребро увеличить на 1, то новое ребро будет равно $$a+1$$, а новый объем $$V_1 = (a+1)^3$$.

Известно, что объем увеличится на 169, то есть $$V_1 = V + 169$$.

Тогда имеем уравнение: $$(a+1)^3 = a^3 + 169$$

Раскроем скобки: $$a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = a^3 + 169$$

Упростим уравнение: $$3a^2 + 3a - 168 = 0$$

Разделим на 3: $$a^2 + a - 56 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-56)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-1 \pm 15}{2}$$

Имеем два корня: $$a_1 = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ и $$a_2 = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$.

Так как длина ребра не может быть отрицательной, то выбираем положительный корень: a = 7.

Ответ: 7