В треугольнике АВС известно, что АС = √19, BC, AB = 15, COS BAC = √19 10 Найдите высоту АН.

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой площади треугольника, выраженной через две стороны и угол между ними, а также формулой площади через основание и высоту.

1. Найдем площадь треугольника АВС, используя формулу $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC}$$.

Известно, что $$cos \angle BAC = \frac{\sqrt{19}}{10}$$. Тогда найдем $$sin \angle BAC$$:

$$sin^2 \angle BAC + cos^2 \angle BAC = 1$$ $$sin^2 \angle BAC = 1 - cos^2 \angle BAC = 1 - (\frac{\sqrt{19}}{10})^2 = 1 - \frac{19}{100} = \frac{81}{100}$$ $$sin \angle BAC = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10}$$

Теперь найдем площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \sqrt{19} \cdot \frac{9}{10} = \frac{135\sqrt{19}}{20} = \frac{27\sqrt{19}}{4}$$

2. Площадь треугольника АВС можно также выразить через основание ВС и высоту АН: $$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$$.

Выразим высоту АН:

$$AH = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \cdot \frac{27\sqrt{19}}{4}}{15} = \frac{27\sqrt{19}}{30} = \frac{9\sqrt{19}}{10}$$

Ответ: $$\frac{9\sqrt{19}}{10}$$