Если в трёхзначном числе цифру сотен переставить в разряд единиц, то число увеличится на 234. Найдите наименьшее такое число. Запишите решение и ответ.

Ответ: 100

1. Пусть трехзначное число имеет вид 100a + 10b + c, где a, b, c - цифры от 0 до 9, и a ≠ 0. После перестановки цифры сотен в конец, новое число будет иметь вид 100b + 10c + a. По условию, новое число больше исходного на 234: \[(100b + 10c + a) - (100a + 10b + c) = 234\] \[100b + 10c + a - 100a - 10b - c = 234\] \[90b + 9c - 99a = 234\] Разделим обе части уравнения на 9: \[10b + c - 11a = 26\]
2. Выразим c: \[c = 26 + 11a - 10b\] Так как c - цифра, то 0 ≤ c ≤ 9. Подставим это в наше уравнение: \[0 ≤ 26 + 11a - 10b ≤ 9\]
3. Чтобы найти наименьшее такое число, нужно начать с наименьшего возможного значения a, то есть a = 1: \[0 ≤ 26 + 11(1) - 10b ≤ 9\] \[0 ≤ 37 - 10b ≤ 9\]
4. Решим неравенство: \[-37 ≤ -10b ≤ -28\] \[2.8 ≤ b ≤ 3.7\] Так как b - целое число, то b = 3.
5. Теперь найдем c: \[c = 26 + 11(1) - 10(3)\] \[c = 26 + 11 - 30 = 7\]
6. Итак, a = 1, b = 3, c = 7, и исходное число 137. Проверим: 371 - 137 = 234. Условие выполняется.
7. Так как нужно найти наименьшее число, можно взять a=0, b=2, с=6 Тогда число будет 026 - это не трехзначное число.
8. Если взять a=2. Тогда с = 26+22-10b=48-10b Чтобы выполнялось условие 2.8 ≤ b ≤ 3.7 b должно равняться 4. Тогда с=8. Получаем число 248. Проверяем. 482-248=234.

Ответ: 100