12. Формула $$S = \frac{d_1 d_2 \sin \alpha}{2}$$ позволяет вычислить площадь четырехугольника, где $$d_1$$ и $$d_2$$ - длины диагоналей четырехугольника, а - угол между диагоналями. Найдите, пользуясь этой формулой, длину диагонали $$d_2$$, если $$d_1 = 7$$, $$\sin \alpha = \frac{6}{11}$$, а $$S = 21$$.

Используем формулу площади четырехугольника: $$S = \frac{d_1 d_2 \sin \alpha}{2}$$. Подставим известные значения: $$21 = \frac{7 \cdot d_2 \cdot \frac{6}{11}}{2}$$. Решим уравнение относительно $$d_2$$: $$21 = \frac{42d_2}{22} \Rightarrow 21 = \frac{21d_2}{11} \Rightarrow d_2 = \frac{21 \cdot 11}{21} \Rightarrow d_2 = 11$$. Ответ: 11.