7. Фотографическая карточка размером 12 х 18 см наклеена на лист так, что получилась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что фотокарточка вместе с рамкой занимает площадь 280 см².

Обозначим ширину рамки за $$x$$ см. Тогда размеры листа с рамкой будут $$(12 + 2x)$$ см и $$(18 + 2x)$$ см. Площадь листа с рамкой равна произведению его сторон, то есть $$(12 + 2x)(18 + 2x)$$. По условию, эта площадь равна 280 см². Составим уравнение: $$(12 + 2x)(18 + 2x) = 280$$ Раскроем скобки: $$216 + 24x + 36x + 4x^2 = 280$$ $$4x^2 + 60x + 216 = 280$$ Перенесем все члены в левую часть уравнения: $$4x^2 + 60x + 216 - 280 = 0$$ $$4x^2 + 60x - 64 = 0$$ Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его: $$x^2 + 15x - 16 = 0$$ Теперь решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 1$$, $$b = 15$$, $$c = -16$$. $$D = 15^2 - 4 * 1 * (-16) = 225 + 64 = 289$$ Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-15 + 17}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 - \sqrt{289}}{2} = \frac{-15 - 17}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$ Так как ширина рамки не может быть отрицательной, то $$x = 1$$ см. Ответ: Ширина рамки равна 1 см.