\(\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}=4\)

Область допустимых значений: \(x\ne0\), \(x\ne-1\).

Умножим обе части на \(x(x+1)\): \(2(x+1)+3x=4x(x+1)\).

Раскроем скобки и перенесём всё в одну часть: \(2x+2+3x=4x^2+4x\), поэтому \(4x^2-x-2=0\).

По формуле корней квадратного уравнения: \(D=(-1)^2-4\cdot4\cdot(-2)=33\), следовательно, \(x=\frac{1\pm\sqrt{33}}{8}\). Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \(x=\frac{1-\sqrt{33}}{8}\) или \(x=\frac{1+\sqrt{33}}{8}\).