\(\frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{x^2+2x-3}\)

Для решения этого уравнения сначала найдем общий знаменатель. Заметим, что знаменатель правой части \( x^2+2x-3 \) можно разложить на множители. Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2+2x-3=0 \). Дискриминант \( D = 2^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 \). Корни: \( x = \frac{-2 \text{±} \text{sqrt}(16)}{2} = \frac{-2 \text{±} 4}{2} \). \( x_1 = \frac{-2+4}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{-2-4}{2} = -3 \). Значит, \( x^2+2x-3 = (x-1)(x+3) \).

Теперь перепишем уравнение с учетом разложенного знаменателя:

\( \frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{(x-1)(x+3)} \)

Общий знаменатель для всех дробей — \( (x-1)(x+3) \). Важно отметить, что \( x \neq 1 \) и \( x \neq -3 \), так как эти значения обращают знаменатели в ноль.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

\( (3x-2)(x+3) - (2x+3)(x-1) = 12x+4 \)

Раскроем скобки:

\( (3x^2 + 9x - 2x - 6) - (2x^2 - 2x + 3x - 3) = 12x+4 \)

\( (3x^2 + 7x - 6) - (2x^2 + x - 3) = 12x+4 \)

Уберем вторые скобки, меняя знаки:

\( 3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 - x + 3 = 12x+4 \)

Приведем подобные слагаемые в левой части:

\( (3x^2 - 2x^2) + (7x - x) + (-6 + 3) = 12x+4 \)

\( x^2 + 6x - 3 = 12x+4 \)

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 + 6x - 12x - 3 - 4 = 0 \)

\( x^2 - 6x - 7 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу дискриминанта. Попробуем по теореме Виета: ищем два числа, произведение которых равно -7, а сумма равна 6. Это числа 7 и -1.

\( x_1 = 7 \) и \( x_2 = -1 \).

Проверим, не равны ли найденные корни ограничениям \( x \neq 1 \) и \( x \neq -3 \). Оба корня (7 и -1) не равны 1 или -3, поэтому являются допустимыми.

Ответ: $$x = 7$$, $$x = -1$$