(x² - 4x)² + 9(x² - 4x) + 20 = 0

Это уравнение можно решить с помощью замены переменной. Пусть \( y = x^2 - 4x \).

Тогда исходное уравнение примет вид:

\( y^2 + 9y + 20 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \).

Используем формулу корней квадратного уравнения \( y = \frac{-b \text{±} \text{sqrt}(b^2 - 4ac)}{2a} \), где \( a=1, b=9, c=20 \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \times 1 \times 20 = 81 - 80 = 1 \).

Находим корни:

\( y_1 = \frac{-9 + \text{sqrt}(1)}{2 \times 1} = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

\( y_2 = \frac{-9 - \text{sqrt}(1)}{2 \times 1} = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)

Теперь подставим найденные значения \( y \) обратно в замену \( y = x^2 - 4x \).

1. Случай 1: \( y_1 = -4 \)

\( x^2 - 4x = -4 \)

Перенесем все в одну сторону:

\( x^2 - 4x + 4 = 0 \)

Это полный квадрат:

\( (x - 2)^2 = 0 \)

Отсюда \( x - 2 = 0 \), значит \( x = 2 \).

2. Случай 2: \( y_2 = -5 \)

\( x^2 - 4x = -5 \)

Перенесем все в одну сторону:

\( x^2 - 4x + 5 = 0 \)

Найдем дискриминант для этого квадратного уравнения:

\( D = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 16 - 20 = -4 \)

Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)), это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $$x = 2$$