2. 4 f(x) = x³ – 3x² + 4.

Построим эскиз графика функции f(x) = x³ – 3x² + 4.

Для начала найдем производную функции, чтобы определить точки экстремума и интервалы возрастания и убывания:

$$f'(x) = 3x^2 - 6x$$

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю:

$$3x^2 - 6x = 0$$

$$3x(x - 2) = 0$$

$$x = 0, x = 2$$

Теперь найдем значения функции в этих точках:

$$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4$$

$$f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$$

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: (0, 4) и (2, 0).

Определим интервалы возрастания и убывания функции:

• При x < 0, f'(x) > 0, функция возрастает.
• При 0 < x < 2, f'(x) < 0, функция убывает.
• При x > 2, f'(x) > 0, функция возрастает.

Теперь найдем вторую производную, чтобы определить точки перегиба:

$$f''(x) = 6x - 6$$

Приравняем вторую производную к нулю:

$$6x - 6 = 0$$

$$x = 1$$

Найдем значение функции в этой точке:

$$f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2$$

Точка перегиба: (1, 2).

Теперь, имея эти данные, можем нарисовать эскиз графика:

К сожалению, я не могу нарисовать график визуально, но я предоставлю текстовое описание:

• Функция возрастает до x = 0, достигает максимума в точке (0, 4).
• Функция убывает от x = 0 до x = 2, достигает минимума в точке (2, 0).
• Функция возрастает после x = 2.
• Точка перегиба находится в (1, 2).

Схематическое представление графика:

        4  * (0,4)
        /|
       / |
      /  |
     /   |
    2    * (1,2) Точка перегиба
   / \  |
  /   \ |
 /     \|
0-------* (2,0)
       Oсь X

Ответ: Эскиз графика функции f(x) = x³ – 3x² + 4 построен на основе анализа производных и ключевых точек.