25) f(x)=7x⁷ - 5 ln x + 3 ctg x

Для функции ( f(x) = 7x^7 - 5 ln x + 3 operatorname{ctg} x ) найдем производную. Производная ( x^n ) равна ( nx^{n-1} ). Производная ( ln x ) равна ( \frac{1}{x} ). Производная ( operatorname{ctg} x ) равна ( -\frac{1}{sin^2 x} = -\csc^2 x ). ( f'(x) = \frac{d}{dx}(7x^7) - \frac{d}{dx}(5 ln x) + \frac{d}{dx}(3 operatorname{ctg} x) ) ( f'(x) = 7\frac{d}{dx}(x^7) - 5\frac{d}{dx}(ln x) + 3\frac{d}{dx}(operatorname{ctg} x) ) ( f'(x) = 7 cdot 7x^6 - 5 cdot \frac{1}{x} + 3 cdot (-\csc^2 x) ) ( f'(x) = 49x^6 - \frac{5}{x} - 3\csc^2 x ) Итак, производная функции ( f(x) ) равна: ( f'(x) = 49x^6 - \frac{5}{x} - 3\csc^2 x )