Г-7 Публичный зачет по геометрии Билет 3. 1. Дайте определение смежных углов. Сформулируйте свойство смежных углов. 2. Докажите признак равенства треугольников по трем сторонам (любой частный случай). 3. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 70°. Найти остальные три угла. 4. В треугольнике MPF угол М равен 80°, угол Р равен 40°. Биссектриса угла М пересекает сторону FP в точке К. Найти угол FKM.

Билет 3

1. Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами (образуют развёрнутый угол). Свойство смежных углов: Сумма смежных углов равна \( 180^\circ \).
2. Признак равенства треугольников по трем сторонам (третий признак): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство (частный случай): Пусть даны два треугольника \( △ ABC \) и \( △ A'B'C' \) такие, что \( AB = A'B' \), \( BC = B'C' \), \( AC = A'C' \). Отложим отрезки \( AC \) и \( A'C' \) на одной прямой так, чтобы точки \( A \) и \( A' \) совпали, а точки \( C \) и \( C' \) оказались по разные стороны от \( A \). Соединим точки \( B \) и \( B' \) отрезком. Рассмотрим \( △ ABB' \). Так как \( AB = AB' \) (по построению), то \( △ ABB' \) — равнобедренный. Следовательно, \( ∠ ABC = ∠ AB'C \). Так как \( BC = B'C \), то \( △ ABC = △ AB'C \) по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними). Из равенства треугольников следует, что \( AC = AB' \). Но \( AC = A'C' \), значит \( AB' = A'C' \). Теперь рассмотрим \( △ AB'C' \). В нем \( AB' = A'C' \) и \( B'C' \) — общая сторона. Следовательно, \( △ ABC = △ A'B'C' \) по третьему признаку равенства треугольников.
3. Дано: Две прямые пересекаются. Один угол равен \( 70^\circ \). Найти: Остальные три угла. Решение: При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Вертикальные углы равны. Смежные углы в сумме дают \( 180^\circ \). Пусть \( ∠ 1 = 70^\circ \). Тогда смежный с ним угол \( ∠ 2 = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \). Вертикальный к \( ∠ 1 \) равен \( ∠ 3 = 70^\circ \). Вертикальный к \( ∠ 2 \) равен \( ∠ 4 = 110^\circ \).

   Ответ: \( 70^\circ, 110^\circ, 110^\circ \).

4. Дано: \( △ MPF \), \( ∠ M = 80^\circ \), \( ∠ P = 40^\circ \). MK — биссектриса \( ∠ M \). K лежит на FP. Найти: \( ∠ FKM \). Решение: Сумма углов \( △ MPF \) равна \( 180^\circ \). \( ∠ F = 180^\circ - (∠ M + ∠ P) = 180^\circ - (80^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \). Так как MK — биссектриса \( ∠ M \), то \( ∠ FMK = ∠ KMP = \frac{1}{2} ∠ M = \frac{1}{2} · 80^\circ = 40^\circ \). Рассмотрим \( △ FKM \). Сумма его углов равна \( 180^\circ \). \( ∠ FKM = 180^\circ - (∠ F + ∠ FMK) = 180^\circ - (60^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).

   Ответ: \( ∠ FKM = 80^\circ \).