Г-7 Публичный зачет по геометрии Билет 4. 1. Дайте определение вертикальных углов. Сформулируйте свойство вертикальных углов. 2. Докажите теорему о сумме углов треугольника. 3. Докажите равенство треугольников ADM и AFE. 4. Один из двух односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в три раза больше другого. Найти эти углы.

Билет 4

1. Вертикальные углы — это два угла, у которых одна вершина общая, а стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны.
2. Теорема о сумме углов треугольника: Сумма углов любого треугольника равна \( 180^\circ \). Доказательство: Пусть дан \( △ ABC \). Проведем через вершину \( B \) прямую \( DE \) параллельно стороне \( AC \). Тогда \( ∠ DBA = ∠ BAC \) как накрест лежащие при параллельных прямых \( DE \) и \( AC \) и секущей \( AB \). Аналогично, \( ∠ EBC = ∠ BCA \) как накрест лежащие при параллельных прямых \( DE \) и \( AC \) и секущей \( BC \). Угол \( DBC \) является развёрнутым, поэтому \( ∠ DBA + ∠ ABC + ∠ EBC = 180^\circ \). Заменяя \( ∠ DBA \) на \( ∠ BAC \) и \( ∠ EBC \) на \( ∠ BCA \), получаем \( ∠ BAC + ∠ ABC + ∠ BCA = 180^\circ \). Теорема доказана.
3. Дано: \( AD ∥ EF \), \( DE ∥ AF \). Доказать: \( △ ADM = △ AFE \). Доказательство: Рассмотрим \( △ ADM \) и \( △ AFE \). \( AD ∥ EF \) и \( DE ∥ AF \), значит, четырехугольник \( ADEF \) — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, \( AD = EF \) и \( AF = DE \). Углы \( ∠ DAM \) и \( ∠ FAE \) являются вертикальными, поэтому \( ∠ DAM = ∠ FAE \). Таким образом, \( △ ADM = △ AFE \) по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними).
4. Дано: Две параллельные прямые пересечены секущей. Односторонние углы относятся как 3:1. Найти: Величины углов. Решение: Пусть один односторонний угол равен \( x \), а другой — \( 3x \). Сумма односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна \( 180^\circ \). \( x + 3x = 180^\circ \) \( 4x = 180^\circ \) \( x = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ \). Тогда второй угол равен \( 3x = 3 · 45^\circ = 135^\circ \).

   Ответ: \( 45^\circ \) и \( 135^\circ \).