Геометрия 7 класс. Продвинутый уровень Урок №12. Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые Домашнее задание

Задание 1.

Дано: \( ∠ KPB \) и \( ∠ BPN \) — смежные углы, луч \( PC \) — биссектриса \( ∠ KPB \), луч \( PM \) — биссектриса \( ∠ BPN \), \( ∠ BPC = ∠ BPN - 21^\circ \).

Найти: \( ∠ MPN \).

Решение:

1. Так как \( ∠ KPB \) и \( ∠ BPN \) — смежные углы, то \( ∠ KPB + ∠ BPN = 180^\circ \).
2. Луч \( PC \) — биссектриса \( ∠ KPB \), значит \( ∠ KPC = ∠ CPB = ⅒ ∠ KPB \).
3. Луч \( PM \) — биссектриса \( ∠ BPN \), значит \( ∠ BPM = ∠ MPN = ⅒ ∠ BPN \).
4. Из условия \( ∠ BPC = ∠ BPN - 21^\circ \) и \( ∠ CPB = ⅒ ∠ KPB \).
5. Запишем \( ∠ KPB = ∠ KPC + ∠ CPB = 2 ∠ CPB \).
6. У нас есть \( ∠ KPB + ∠ BPN = 180^\circ \).
7. Подставим \( ∠ CPB = ∠ BPN - 21^\circ \) в \( ∠ KPB = 2 ∠ CPB \). Получим \( ∠ KPB = 2(∠ BPN - 21^\circ) = 2∠ BPN - 42^\circ \).
8. Теперь подставим это в уравнение \( ∠ KPB + ∠ BPN = 180^\circ \): \( (2∠ BPN - 42^\circ) + ∠ BPN = 180^\circ \).
9. Решим полученное уравнение: \( 3∠ BPN = 180^\circ + 42^\circ = 222^\circ \).
10. \( ∠ BPN = ⅓ ∢^\circ = 74^\circ \).
11. Так как \( ∠ MPN = ⅒ ∠ BPN \), то \( ∠ MPN = ⅒ \times 74^\circ = 37^\circ \).

Ответ: ∠ MPN = 37°.