Задание 3* Докажите, что вертикальные углы равны.

Доказательство:

Рассмотрим две пересекающиеся прямые \( AC \) и \( BD \), которые пересекаются в точке \( O \).

Вертикальные углы — это пары углов, образованные пересечением двух прямых, у которых вершины совпадают, а стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

В данном случае вертикальными углами являются пары \( ∠ AOB \) и \( ∠ COD \), а также \( ∠ BOC \) и \( ∠ AOD \).

Докажем, что \( ∠ AOB = ∠ COD \):

1. Углы \( ∠ AOB \) и \( ∠ BOC \) являются смежными, так как их стороны \( OA \) и \( OC \) образуют прямую \( AC \). Поэтому их сумма равна \( 180^\circ \): \( ∠ AOB + ∠ BOC = 180^\circ \).
2. Углы \( ∠ COD \) и \( ∠ BOC \) также являются смежными, так как их стороны \( OC \) и \( OA \) образуют прямую \( AC \). Поэтому их сумма равна \( 180^\circ \): \( ∠ COD + ∠ BOC = 180^\circ \).
3. Из равенства (1) выразим \( ∠ AOB = 180^\circ - ∠ BOC \).
4. Из равенства (2) выразим \( ∠ COD = 180^\circ - ∠ BOC \).
5. Так как правые части выражений для \( ∠ AOB \) и \( ∠ COD \) равны, то и левые части равны: \( ∠ AOB = ∠ COD \).

Аналогично доказывается равенство для второй пары вертикальных углов \( ∠ BOC \) и \( ∠ AOD \):

1. \( ∠ BOC + ∠ COD = 180^\circ \) (смежные углы, прямая \( BD \)).
2. \( ∠ AOD + ∠ COD = 180^\circ \) (смежные углы, прямая \( BD \)).
3. \( ∠ BOC = 180^\circ - ∠ COD \).
4. \( ∠ AOD = 180^\circ - ∠ COD \).
5. Следовательно, \( ∠ BOC = ∠ AOD \).

Таким образом, доказано, что вертикальные углы равны.