На рисунке \( ∠ ABM = 29^\circ \), \( ∠ ABM = ∠ MBP \). Найдите: \( ∠ CBK \), \( ∠ PBO \), \( ∠ ABC \).

Решение:

На рисунке изображены пересекающиеся прямые \( AO \) и \( CP \), а также луч \( BK \).

По условию \( ∠ ABM = 29^\circ \) и \( ∠ ABM = ∠ MBP \).

1. Так как \( ∠ ABM = ∠ MBP \), то \( ∠ MBP = 29^\circ \).
2. \( ∠ ABP = ∠ ABM + ∠ MBP = 29^\circ + 29^\circ = 58^\circ \).
3. \( ∠ ABC \) и \( ∠ ABP \) — смежные углы, их сумма равна \( 180^\circ \).
4. \( ∠ ABC = 180^\circ - ∠ ABP = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ \).
5. \( ∠ CBK \) и \( ∠ ABM \) — вертикальные углы, поэтому \( ∠ CBK = ∠ ABM = 29^\circ \).
6. \( ∠ PBO \) и \( ∠ KBM \) — вертикальные углы.
7. \( ∠ KBM = ∠ ABP + ∠ APB \rightarrow \text{ошибка в условии или рисунке, \( KBM \) не вертикален \( PBO \) из-за луча \( BK \)} \).
8. \( ∠ PBO \) и \( ∠ CBK \) — смежные углы, потому что \( ∠ CBO = ∠ CBK + ∠ KBO \). \( ∠ KBO \) и \( ∠ PBO \) лежат на одной прямой \( CP \).
9. \( ∠ PBO \) и \( ∠ ABK \) — вертикальные углы. \( ∠ ABK = ∠ ABC + ∠ CBK = 122^\circ + 29^\circ = 151^\circ \).
10. \( ∠ PBO = 180^\circ - ∠ ABP = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ \). (Это угол \( ∠ CBO \) из-за того, что \( CP \) прямая)
11. \( ∠ PBO \) и \( ∠ ABK \) — вертикальные углы. \( ∠ ABK = ∠ ABP + ∠ PBK \). \( ∠ ABM = 29^\circ \), \( ∠ MBP = 29^\circ \). \( ∠ ABP = 58^\circ \). \( ∠ ABC = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ \). \( ∠ CBK = 29^\circ \). \( ∠ PBO = 180^\circ - ∠ ABP \) (углы \( ∠ ABP \) и \( ∠ PBO \) — смежные, если \( AO \) и \( CP \) прямые, но \( BK \) мешает)
12. \( ∠ ABM = 29^\circ \), \( ∠ MBP = 29^\circ \). \( ∠ ABP = 58^\circ \). \( ∠ ABC = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ \).
13. \( ∠ CBK \) — вертикальный \( ∠ ABM \). \( ∠ CBK = 29^\circ \).
14. \( ∠ PBO \) — вертикальный \( ∠ KBM \). \( ∠ KBM = ∠ KBP + ∠ PBM \). \( ∠ KBM = ∠ ABC + ∠ CBK \rightarrow \text{ошибка} \).
15. \( ∠ PBO \) и \( ∠ CBK \) — смежные углы, так как \( CP \) — прямая. \( ∠ CBO = 180^\circ \). \( ∠ CBK + ∠ KBO = 180^\circ \). \( ∠ KBP = 180^\circ - ∠ ABP = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ \).
16. \( ∠ PBO \) и \( ∠ CBK \) — смежные углы. \( ∠ CBO = 180^\circ \). \( ∠ PBO + ∠ CBP = 180^\circ \). \( ∠ CBP = ∠ CBK + ∠ KBP = 29^\circ + 122^\circ = 151^\circ \). \( ∠ PBO = 180^\circ - 151^\circ = 29^\circ \).
17. \( ∠ PBO \) и \( ∠ ABM \) — вертикальные, \( ∠ PBO = 29^\circ \).

Ответ: ∠ CBK = 29°, ∠ PBO = 29°, ∠ ABC = 122°.