15.17. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а больший катет 16 см. Найдите отрезки, на которые серединный перпендикуляр гипотенузы делит больший катет.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где AB - гипотенуза, BC - больший катет, равный 16 см, AB = 20 см.

Пусть D - середина гипотенузы AB, тогда AD = DB = AB/2 = 20/2 = 10 см.

Проведем серединный перпендикуляр DE к гипотенузе AB, тогда DE ⊥ AB и DE пересекает катет BC в точке E.

Рассмотрим треугольник BDE: он прямоугольный (∠DBE = 90°). Найдем DE по теореме Пифагора:

$$ DE = \sqrt{BE^2 - BD^2} $$

Треугольники ABC и EBD подобны, так как ∠B - общий, и ∠C = ∠EDB = 90°.

Из подобия треугольников ABC и EBD следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{DE}{AC} = \frac{BD}{AB} = \frac{BE}{BC} $$

Выразим BE через пропорцию:

$$ \frac{BE}{BC} = \frac{BD}{AB} $$

$$ BE = \frac{BD \cdot BC}{AB} = \frac{10 \cdot 16}{20} = 8 \text{ см} $$

Теперь найдем EC:

$$ EC = BC - BE = 16 - 8 = 8 \text{ см} $$

Таким образом, серединный перпендикуляр делит катет BC на два отрезка: BE = 8 см и EC = 8 см.

Ответ: 8 см и 8 см