Группа №1: Решите графически системы уравнений: а) \(\begin{cases}x^2+y^2=16\\x-y=4\end{cases}\); б) \(\begin{cases}xy=8\\x^2+y+3=0\end{cases}\).

а) Первое уравнение задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом 4, второе — прямую \(y=x-4\). Точки пересечения графиков найдём подстановкой:

\(x^2+(x-4)^2=16\), поэтому \(2x^2-8x=0\), откуда \(x=0\) или \(x=4\). По формуле прямой получаем соответственно \(y=-4\) и \(y=0\).

График системы а)

б) Перепишем уравнения в виде \(y=8/x\) и \(y=-x^2-3\). Приравнивая выражения для \(y\), получаем \(x^3+3x+8=0\). Левая часть строго возрастает, поскольку её производная \(3x^2+3\) положительна; значит, действительный корень только один. Численно \(x\approx-1.513\), тогда \(y=8/x\approx-5.288\).

График системы б)

Ответ: а) \((0;-4)\), \((4;0)\); б) приблизительно \((-1.513;-5.288)\).