Группа №3: Решите графически системы уравнений: а) \(\begin{cases}y=x^3\\xy=-12\end{cases}\); б) \(\begin{cases}y=x\\(x-2)^2+(y-3)^2=16\end{cases}\); в) \(\begin{cases}y=|x|\\\frac12x^3-y=0\end{cases}\).

а) Подставим \(y=x^3\) во второе уравнение: \(x\cdot x^3=-12\), откуда \(x^4=-12\). Для действительного \(x\) это невозможно, поэтому графики не имеют общих точек.

График системы а)

б) Подставим \(y=x\) в уравнение окружности: \((x-2)^2+(x-3)^2=16\), откуда \(2x^2-10x-3=0\). Следовательно, \(x=\frac{5\pm\sqrt{31}}2\), и для каждой точки \(y=x\).

График системы б)

в) Второе уравнение равносильно \(y=\frac12x^3\). При \(x\geq0\) равенство графиков даёт \(x=\frac12x^3\), то есть \(x=0\) или \(x^2=2\). Из этого случая получаем \((0;0)\) и \((\sqrt2;\sqrt2)\). При \(x<0\) имеем \(|x|=-x\), поэтому \(-x=\frac12x^3\) не имеет действительных решений: после деления на ненулевое \(x\) получилось бы \(x^2=-2\).

График системы в)

Ответ: а) решений нет; б) \(\left(\frac{5-\sqrt{31}}2;\frac{5-\sqrt{31}}2\right)\) и \(\left(\frac{5+\sqrt{31}}2;\frac{5+\sqrt{31}}2\right)\); в) \((0;0)\), \((\sqrt2;\sqrt2)\).